កំហុសដែលពេញនិយម ពេលដោះស្រាយ​លីមីត​នៃស្វ៊ីត​តាមនិយមន័យ

យើងនឹងធ្វើការបង្ហាញ និងកែលំអនូវកំហុសមួយដែលសិស្ស និស្សិត និង លោកគ្រូ អ្នកគ្រូ មួយចំនួនតែងបង្ករឡើង ពេលដោះស្រាយលីមីតនៃស្វ៊ីតតាមនិយមន័យ ។ ពិនិត្យមើល ឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ 1: Prove by definition that

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2}{n^2+1}=1$$

ខាងក្រោមនេះ គឺជាដំណោះស្រាយរបស់សិស្ស និស្សិត និងលោកគ្រូ អ្នកគ្រូមួយចំនួន៖

Let $ϵ>0$, if $|\frac{n^2}{n^2+1}-1|<ϵ$ then $\frac{1}{n^2+1}<ϵ$ so that $n>\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}$

Choose $N=\left[\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}\right]+1$ then $\forall n\ge N$, we have $|\frac{n^2}{n^2+1}-1|<ϵ$.

Hence,

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2}{n^2+1}=1$$

កំហុស​ក្នុងដំណោះស្រាយ​ខាងលើ​ គឺការកំណត់តម្លៃ $N$។ $N$ មិនអាចកំណត់បានទេ ប្រសិនបើ $ϵ$ មានតម្លៃធំខ្លាំង ។ កំហុសតូចនេះ ជាធម្មតាកើតឡើង នៅពេលដែលយើង មិនបាន​យល់​ច្បាស់​ពី​និយមន័យ ហើយ​គិត​ថា តម្លៃ $ϵ$ គឺជ្រើសរើស​យក​តូចបំផុត ។ ជាការពិត យើង​អាច​ស្រាយបញ្ជាក់ ចំពោះតែ​ករណី $ϵ$ តូចក៏បាន បើសិនជាយើងបានស្រាយភាពសមមូលជាមួយនឹងនិយមន័យដើម ។

យើងនឹងផ្តល់ជូននូវដំណោះស្រាយបីផ្សេងគ្នា ទាក់ទងនឹងឧទាហរណ៍ខាងលើ។

ដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ 1: ប្រើប្រាស់និយមន័យ ចំពោះគ្រប់ $ϵ>0$.

Given $ϵ>0$, then

$$|\frac{n^2}{n^2+1}-1|<ϵ\iff \frac{1}{n^2+1}<ϵ\iff n^2>\frac{1}{ϵ}-1$$

Define

$$N=\{\begin{array}{cc}\left[\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}\right]+1& \text{if}0<ϵ<1\\ 1& \text{if}ϵ\ge 1\end{array}$$

then $\forall n\ge N$, we have

$$n^2\ge N^2>\frac{1}{ϵ}-1\Rightarrow |\frac{n^2}{n^2+1}-1|<ϵ$$

Hence,

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2}{n^2+1}=1$$

ដំណោះស្រាយ 2: ប្រើប្រាស់តម្លៃ $ϵ$ តូច រួចពង្រីកទៅតម្លៃ $ϵ>0$ វិជ្ជមានទូទៅ.

Let $0<ϵ\le 1$, then

$$|\frac{n^2}{n^2+1}-1|<ϵ\iff \frac{1}{n^2+1}<ϵ\iff n^2>\frac{1}{ϵ}-1>0\iff n>\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}$$

Choose $N_{ϵ}=\left[\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}\right]+1$ then $\forall n\ge N_{ϵ}$, we have

$$n>\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}\Rightarrow |\frac{n^2}{n^2+1}-1|<ϵ$$

If $ϵ>1$, choose $N=N_1$ then $\forall n\ge N$, we have $|\frac{n^2}{n^2+1}-1|<1<ϵ$.

Hence,

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2}{n^2+1}=1$$

ដំណោះស្រាយ 3: ប្រើប្រាស់ archimedean property.

Given $ϵ>0$. By archimedean property, there exists $N\in N$ such that $\frac{1}{N}<ϵ$. Then for all $n\ge N$, we have

$$|\frac{n^2}{n^2+1}-1|=\frac{1}{n^2+1}\le \frac{1}{N^2+1}\le \frac{1}{N}<ϵ.$$

Hence,

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2}{n^2+1}=1$$

យើងសង្កេតឃើញថា នៅក្នុងដំណោះស្រាយទី 3 យើងមិនចាំបាច់គណនារកតម្លៃ $N$ ឡើយ។ ការ​គណនា​តម្លៃ $N$ អាច​មាន​ភាព​ស្មុគស្មាញ និង​ពិបាក​ទៅ​តាម​ប្រភេទ​នៃ​ស្វ៊ីត ។ ដូចនេះ archimedean property ជាលក្ខណៈសំខាន់មួយដែលសិស្ស និស្សិត គួរយល់ និង​ ចាំ ពេលដោះស្រាយលីមីតនៃស្វ៊ីតតាមនិយមន័យ។ Archimedean property មាន 2 និយមន័យ ដែលសមមូលគ្នាដូចខាងក្រោម៖

និយមន័យ 1: ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​ពិត $x$, មាន​ចំនួន​គត់​វិជ្ជមាន $n$ ដែល $x<n$។

និយមន័យ 2: ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួន​ពិត $a$ និង $b$ ដែល $a<b$, មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ដែល $b<na$។

យើង​នឹង​ដោះស្រាយ​លីមីត​នៃ​ស្វ៊ីត​តាម​និយម​ន័យ តាម​​រយៈឧទាហរណ៍​ខាងក្រោម​ ដោយ​ប្រើ​ប្រាស់ archimedean property។ អ្នកអាន គួរ​តែ​សាក​ល្បង​ដោះ​ស្រាយ​តាម​ពីរ​វិធី​ផ្សេង​ទៀត ដើម្បី​ធ្វើ​ការ​ប្រៀប​ធៀប​ និង ដើម្បីយល់​ពីប្រយោជន៍​របស់ archimedean property អោយកាន់តែច្បាស់ ។

ឧទាហរណ៍ 2: Prove by definition that

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n}{\sqrt[3]{3n^3+1}}=1.$$

ដំណោះស្រាយ: For all $n=1,2,\cdots$, we have

$$|\frac{n}{\sqrt[3]{3n^3+1}}-1|=\left|\frac{n-\sqrt[3]{3n^3+1}}{\sqrt[3]{3n^3+1}}\right|=\frac{\sqrt[3]{3n^3+1}-n}{\sqrt[3]{3n^3+1}}$$

and

$$n^3+1<(n+1{)}^3\iff \sqrt[3]{3n^3+1}-n<1.$$

Let $ϵ>0$. By archimedean property, there exists $N\in N$ such that $\frac{1}{N}<ϵ$.

Thus, $\forall n\ge N$, we have

$$\frac{\sqrt[3]{3n^3+1}}{\sqrt[3]{3n^3+1}-n}>\sqrt[3]{3n^3+1}>n\ge N$$

so that

$$\frac{\sqrt[3]{3n^3+1}-n}{\sqrt[3]{3n^3+1}}<\frac{1}{N}<ϵ.$$

Hence,

$$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n}{\sqrt[3]{3n^3+1}}=1$$

គួរកត់សម្គាល់ផងដែរថា កំហុសស្រដៀងគ្នានេះ ក៏​កើត​មានឡើង​ផង​ដែរ​ នៅ​ក្នុង​ដំណោះ​ស្រាយលីមីតនៃ​អនុគមន៍​តាម​និយម​ន័យ​ $ϵ-\delta$ នៅ​ពេល​ជ្រើស​រើស​យកតម្លៃ $\delta$។