កំហុសដែលពេញនិយម ពេលដោះស្រាយលីមីតនៃស្វ៊ីតតាមនិយមន័យ
យើងនឹងធ្វើការបង្ហាញ និងកែលំអនូវកំហុសមួយដែលសិស្ស និស្សិត និង លោកគ្រូ អ្នកគ្រូ មួយចំនួនតែងបង្ករឡើង ពេលដោះស្រាយលីមីតនៃស្វ៊ីតតាមនិយមន័យ ។ ពិនិត្យមើល ឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍ 1: Prove by definition that
\[\lim_{n\to\infty}{\frac{n^2}{n^2+1}}=1\]
ខាងក្រោមនេះ គឺជាដំណោះស្រាយរបស់សិស្ស និស្សិត និងលោកគ្រូ អ្នកគ្រូមួយចំនួន៖
Let $\epsilon>0$, if \(\Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<\epsilon\) then \(\frac{1}{n^2+1}<\epsilon\) so that \(n>\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}\)
Choose $N=\left[\sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}-1}\right]+1$ then $\forall n\geq N$, we have \(\Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<\epsilon\).
Hence,
\[\lim_{n\to\infty}{\frac{n^2}{n^2+1}}=1\]
កំហុសក្នុងដំណោះស្រាយខាងលើ គឺការកំណត់តម្លៃ $N$។ $N$ មិនអាចកំណត់បានទេ ប្រសិនបើ \(\epsilon\) មានតម្លៃធំខ្លាំង ។ កំហុសតូចនេះ ជាធម្មតាកើតឡើង នៅពេលដែលយើង មិនបានយល់ច្បាស់ពីនិយមន័យ ហើយគិតថា តម្លៃ \(\epsilon\) គឺជ្រើសរើសយកតូចបំផុត ។ ជាការពិត យើងអាចស្រាយបញ្ជាក់ ចំពោះតែករណី \(\epsilon\) តូចក៏បាន បើសិនជាយើងបានស្រាយភាពសមមូលជាមួយនឹងនិយមន័យដើម ។
យើងនឹងផ្តល់ជូននូវដំណោះស្រាយបីផ្សេងគ្នា ទាក់ទងនឹងឧទាហរណ៍ខាងលើ។
ដំណោះស្រាយ
ដំណោះស្រាយ 1: ប្រើប្រាស់និយមន័យ ចំពោះគ្រប់ $\epsilon>0$.
Given $\epsilon>0$, then
\[\Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<\epsilon\Leftrightarrow\frac{1}{n^2+1}<\epsilon\Leftrightarrow n^2>\frac{1}{\epsilon}-1\]
Define
\[ N= \begin{cases} \left[\sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}-1}\right]+1 & \text{ if } 0<\epsilon<1 \\ 1 & \text{ if } \epsilon\geq 1 \end{cases} \]
then \(\forall n\geq N\), we have
\[ n^2\geq N^2>\frac{1}{\epsilon}-1 \Rightarrow \Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<\epsilon\]
Hence,
\[\lim_{n\to\infty}{\frac{n^2}{n^2+1}}=1\]
ដំណោះស្រាយ 2: ប្រើប្រាស់តម្លៃ $\epsilon$ តូច រួចពង្រីកទៅតម្លៃ $\epsilon>0$ វិជ្ជមានទូទៅ.
Let $0<\epsilon\leq 1$, then
\[\Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<\epsilon\Leftrightarrow\frac{1}{n^2+1}<\epsilon\Leftrightarrow n^2>\frac{1}{\epsilon}-1>0\Leftrightarrow n>\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}\]
Choose \(N_\epsilon=\left[\sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}-1}\right]+1\) then \(\forall n\geq N_\epsilon \), we have
\[ n>\sqrt{\frac{1}{\epsilon}-1}\Rightarrow\Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<\epsilon \]
If \(\epsilon> 1\), choose $N=N_1$ then \(\forall n\geq N\), we have \(\Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert<1<\epsilon\).
Hence,
\[\lim_{n\to\infty}{\frac{n^2}{n^2+1}}=1\]
ដំណោះស្រាយ 3: ប្រើប្រាស់ archimedean property.
Given $\epsilon>0$. By archimedean property, there exists $N\in\mathbb{N}$ such that $\frac{1}{N}<\epsilon$. Then for all $n\geq N$, we have
\[ \Big\vert\frac{n^2}{n^2+1}-1\Big\vert=\frac{1}{n^2+1}\leq \frac{1}{N^2+1}\leq\frac{1}{N}<\epsilon. \]
Hence,
\[\lim_{n\to\infty}{\frac{n^2}{n^2+1}}=1\]
យើងសង្កេតឃើញថា នៅក្នុងដំណោះស្រាយទី 3 យើងមិនចាំបាច់គណនារកតម្លៃ $N$ ឡើយ។ ការគណនាតម្លៃ $N$ អាចមានភាពស្មុគស្មាញ និងពិបាកទៅតាមប្រភេទនៃស្វ៊ីត ។ ដូចនេះ archimedean property ជាលក្ខណៈសំខាន់មួយដែលសិស្ស និស្សិត គួរយល់ និង ចាំ ពេលដោះស្រាយលីមីតនៃស្វ៊ីតតាមនិយមន័យ។ Archimedean property មាន 2 និយមន័យ ដែលសមមូលគ្នាដូចខាងក្រោម៖
និយមន័យ 1: ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$, មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ដែល $x < n$។
និយមន័យ 2: ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដែល $a < b$, មានចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ដែល $b < na$។
យើងនឹងដោះស្រាយលីមីតនៃស្វ៊ីតតាមនិយមន័យ តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងក្រោម ដោយប្រើប្រាស់ archimedean property។ អ្នកអាន គួរតែសាកល្បងដោះស្រាយតាមពីរវិធីផ្សេងទៀត ដើម្បីធ្វើការប្រៀបធៀប និង ដើម្បីយល់ពីប្រយោជន៍របស់ archimedean property អោយកាន់តែច្បាស់ ។
ឧទាហរណ៍ 2: Prove by definition that
\[ \lim_{n\to\infty}{\frac{n}{\sqrt[3]{n^3+1}}}=1. \]
ដំណោះស្រាយ: For all $n=1,2,\cdots$, we have
\[ \left\vert\frac{n}{\sqrt[3]{n^3+1}}-1\right\vert =\left\vert\frac{n-\sqrt[3]{n^3+1}}{\sqrt[3]{n^3+1}}\right\vert =\frac{\sqrt[3]{n^3+1}-n}{\sqrt[3]{n^3+1}}\]
and
\[ n^3+1 < (n+1)^3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{n^3+1}-n < 1 .\]
Let $\epsilon>0$. By archimedean property, there exists $N\in\mathbb{N}$ such that $\frac{1}{N}<\epsilon$.
Thus, $\forall n\geq N$, we have
\[ \frac{\sqrt[3]{n^3+1}}{\sqrt[3]{n^3+1}-n} > \sqrt[3]{n^3+1} > n\geq N \]
so that
\[ \frac{\sqrt[3]{n^3+1}-n}{\sqrt[3]{n^3+1}} < \frac{1}{N} < \epsilon. \]
Hence,
\[ \lim_{n\to\infty}{\frac{n}{\sqrt[3]{n^3+1}}}=1 \]
គួរកត់សម្គាល់ផងដែរថា កំហុសស្រដៀងគ្នានេះ ក៏កើតមានឡើងផងដែរ នៅក្នុងដំណោះស្រាយលីមីតនៃអនុគមន៍តាមនិយមន័យ \(\epsilon-\delta\) នៅពេលជ្រើសរើសយកតម្លៃ $\delta$។
